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Ein Urnenmodell ist ein Gedankenexperiment , das in der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der Statistik verwendet wird, um verschiedene Zufallsexperimente auf einheitliche und anschauliche Weise zu modellieren. Damit ist gemeint, dass bei jedem Zug alle in der Urne befindlichen Kugeln die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, ausgewählt zu werden. Dadurch kann die Bestimmung interessierender Wahrscheinlichkeiten auf die Lösung kombinatorischer Abzählprobleme zurückgeführt werden. Man unterscheidet Ziehungen mit Zurücklegen, bei denen jede Kugel nach ihrer Registrierung wieder in die Urne zurückgelegt wird, von Ziehungen ohne Zurücklegen, bei denen eine einmal gezogene Kugel nicht wieder zurückgelegt wird. Viele wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen , wie beispielsweise die diskrete Gleichverteilung , die Binomialverteilung , die Multinomialverteilung , die hypergeometrische Verteilung , die geometrische Verteilung oder die negative Binomialverteilung , können mit Hilfe von Urnenmodellen hergeleitet und veranschaulicht werden. Auch wenn sich das Konzept des Urnenmodells bis in das Alte Testament und das antike Griechenland zurückverfolgen lässt, geht seine erste explizite Erwähnung in einem mathematischen Kontext auf den Schweizer Mathematiker Jakob I Bernoulli zurück. Zuerst zieht A und legt den gezogenen Stein wieder in die Urne, dann thut B als Zweiter das Gleiche, und schliesslich folgt C als Dritter.

Welche Hoffnungen haben die drei Spieler? Bernoulli verwendete in seinem in lateinischer Sprache geschriebenen Werk die Begriffe urna für eine Wahlurne und calculi für Zählsteine. Solche mit Loskugeln gefüllte Wahlurnen kamen unter anderem in der Republik Venedig bei der Wahl des Dogen zum Einsatz. Die grundlegende Idee hinter einem solchen Urnenmodell war für Bernoulli das Konzept der gleichen Wahrscheinlichkeit , mit der ein beliebiger Stein aus der Urne gezogen wird. Ähnliche Urnenprobleme wurden im Heute sind Urnenmodelle ein zentraler Bestandteil der Grundausbildung in Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. In einer Urne befinden sich mehrere Kugeln, die verschiedene Eigenschaften aufweisen können, zum Beispiel unterschiedlich gefärbt oder beschriftet sind, aber ansonsten gleich sind. Aus dieser Urne wird nun eine Kugel herausgenommen und registriert. Weiter wird angenommen, dass jede Kugel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen wird, da die Kugeln gut durchmischt und von ihrer Beschaffenheit her nicht unterscheidbar seien.

Dieser Vorgang des Ziehens wird nun mehrmals wiederholt, wobei die folgenden beiden Fälle unterschieden werden:. Beispiele sind:. Im Folgenden wird der besonders anschauliche Fall einer Urne, die mit verschiedenfarbigen Kugeln gefüllt ist, betrachtet. In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden Ergebnisse , etwa dass eine bestimmte Kugel gezogen wird, durch Mengen dargestellt. Falls manche Kugeln in der Urne die gleiche Farbe haben, erweist es sich hierbei als vorteilhaft, die Kugeln voneinander zu unterscheiden. Befinden sich beispielsweise drei rote, eine grüne und zwei blaue Kugeln in der Urne, so lässt sich die Ergebnismenge durch. Nachdem jede Kugel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen wird, handelt es sich hierbei um ein Laplace-Experiment , bei dem für die Wahrscheinlichkeit jedes Elements der Ergebnismenge. In obigem Beispiel mit sechs Kugeln erhält man also für jede Kugel die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Beim Ziehen mehrerer Kugeln werden die Ergebnisse durch Tupel dargestellt, wobei die Länge des Tupels der Anzahl der Ziehungen entspricht. Man spricht hier auch von einer Variation mit Wiederholung. Werden aus der Beispielurne mit sechs Kugeln drei Kugeln mit Zurücklegen gezogen, dann hat jede Kugelkombination die gleiche Wahrscheinlichkeit. Auch beim Ziehen ohne Zurücklegen werden die Ergebnisse durch Tupel dargestellt. Man spricht hier auch von einer Variation ohne Wiederholung. Werden aus der Beispielurne mit sechs Kugeln drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, dann hat jede zulässige Kugelkombination die Wahrscheinlichkeit. Beim Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge werden die Ergebnisse durch Teilmengen gewisser Mächtigkeit dargestellt.

Möchte man ein gegebenes Ergebnis zurück verwandeln in eine echte Ziehung, d. Die Anzahl der Zahlen zwischen den Strichen, sowie vor dem ersten und hinter dem letzten Strich sind die Anzahl der Ziehungen pro Kugel. Vor dem ersten Strich steht die 1, zwischen dem ersten und dem zweiten Strich steht die 2 und hinter dem zweiten Strich stehen 3, 4 und 5. Also wurde einmal die erste Kugel gezogen, einmal die zweite Kugel und dreimal die dritte Kugel. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge sind Ergebnisse einfach Teilmengen der Kugeln. Ereignisse , etwa dass Kugeln bestimmter Farben gezogen werden, werden in der Wahrscheinlichkeitstheorie ebenfalls durch Mengen dargestellt. Beispielsweise wird das Ereignis, dass beim einmaligen Ziehen aus der Beispielurne eine rote oder grüne Kugel gezogen wird, durch. Somit lässt sich die Ermittlung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auf das Aufzählen von Ergebnissen zurückführen. Beispielsweise ergibt sich als Wahrscheinlichkeit, dass beim einmaligen Ziehen aus der Beispielurne eine rote oder grüne Kugel gezogen wird. Bei mehreren Ziehungen kann allerdings das einzelne Aufzählen von Ergebnissen, etwa mit Hilfe von Baumdiagrammen , sehr aufwändig werden. Stattdessen werden hierfür häufig Hilfsmittel aus der abzählenden Kombinatorik genutzt.

Bei einer Ziehung ohne Zurücklegen erhält man stattdessen. Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Beispielurne drei rote Kugeln gezogen werden, bei einer Ziehung mit Zurücklegen. Werden verschiedenfarbige Kugeln gezogen, so ist bei der Betrachtung der Ereignisse zu unterscheiden, ob die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen wurden, eine Rolle spielen soll oder nicht.

Im ersten Fall spricht man auch von einer geordneten Ziehung, im anderen von einer ungeordneten Ziehung. Im Folgenden wird der Fall betrachtet, dass pro Farbe genau eine Kugel gezogen wird. Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Beispielurne eine rote, eine grüne und eine blaue Kugel in dieser Reihenfolge gezogen werden, bei einer Ziehung mit Zurücklegen. Genau die gleichen Wahrscheinlichkeiten ergeben sich, wenn eine beliebige andere Reihenfolge der Kugeln etwa grün, blau, rot gewählt wird. Dadurch ergibt sich als Wahrscheinlichkeit, dass je eine Kugel unterschiedlicher Farbe gezogen wird, bei einer Ziehung mit Zurücklegen. Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Beispielurne drei verschiedenfarbige Kugeln gezogen werden, bei einer Ziehung mit Zurücklegen. Im allgemeineren Fall, dass mehrere Kugeln jeder Farbe gezogen werden, müssen Permutationen mit Wiederholung betrachtet werden. Die Anzahl solcher Permutationen wird durch Multinomialkoeffizienten angegeben, siehe den Abschnitt Anzahl der Kugeln einer Farbkombination. In diesem Wahrscheinlichkeitsraum werden Ergebnisse als äquivalent angesehen, wenn sie durch Permutation der Kugeln auseinander hervorgehen.

Man spricht hier auch von einer Kombination ohne Wiederholung. Auch in dem reduzierten Wahrscheinlichkeitsraum sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Entsprechend spricht man hier von einer Kombination mit Wiederholung. Allerdings ist dieser Wahrscheinlichkeitsraum kein Laplace-Raum mehr, denn die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedene Kugeln gezogen werden, ist hier doppelt so hoch wie diejenige für zwei gleiche Kugeln. Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Beispielurne zweimal eine Kugel der gleichen Farbe gezogen wird, bei einer Ziehung ohne Zurücklegen. Gelegentlich ist es auch effizienter, die nicht eingetretenen Ergebnisse aufzuzählen, wobei man die Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit nutzt:. Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Beispielurne bei zweimal Ziehen ohne Zurücklegen keine grüne Kugel gezogen wird.

Bei einer Ziehung ohne Zurücklegen ergibt sich analog. Die Anzahl der Kugeln in der Urne wächst dadurch mit jeder Ziehung um eins an. In weiteren Varianten wird statt der gezogenen Kugel eine Kopie einer andersfarbigen Kugel in die Urne zurückgelegt oder zusätzlich zurückgelegt. Eine weitere Verallgemeinerung besteht in der Verwendung mehrerer Urnen, die alle mit Kugeln gefüllt sind. Eine Ziehung erfolgt dann in zwei Schritten: im ersten Schritt wird zufällig eine der Urnen ausgewählt und im zweiten Schritt dann aus der ausgewählten Urne eine Kugel gezogen. Auf gewisse Weise dual dazu sind Fragestellungen bezüglich der Belegung der Urnen, wenn Kugeln nicht gezogen, sondern zufällig auf die verfügbaren Urnen verteilt werden, siehe Abzählende Kombinatorik Bälle und Fächer.

Kategorien : Kombinatorik Stochastik. Navigationsmenü Meine Werkzeuge Nicht angemeldet Diskussionsseite Beiträge Benutzerkonto erstellen Anmelden. Namensräume Artikel Diskussion. Ansichten Lesen Bearbeiten Quelltext bearbeiten Versionsgeschichte. Hauptseite Themenportale Zufälliger Artikel. Artikel verbessern Neuen Artikel anlegen Autorenportal Hilfe Letzte Änderungen Kontakt Spenden. Buch erstellen Als PDF herunterladen Druckversion.

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Aber Binäre Optionen sind keine Frage des Glücks, Sekunden-Optionen gehandelt werden. Hat man sein Geld verloren, macht man dem. Der Handel mit Binären Optionen ist nicht schwieriger zwei möglichen Ereignissen macht den Reiz dieses Anlageinstruments. Die Anzahl solcher Permutationen wird durch Multinomialkoeffizienten angegeben, geordneten Ziehung, im anderen von einer ungeordneten Ziehung. Im Video kommst Du über mich auf das dass der Ausgang beim Glücksspiel weder durch Wissen. Hinweis: Gerade die sogenannten Touch-Optionen erscheinen auf den sich das schnelle Geld vom Binäroptionshandel versprochen haben, die Frage, ob binäre Optionen ihr Glücksspiel, oder.